упражнения для дошкольников. Блог Лого-Эксперт

Блог Лого-Эксперт

логопеду начинающему логопеду Родителям

Содержание:

Логоритмика — что это?

Цели и задачи логоритмики

Показания для занятий

Упражнения

Основной целью воспитания ребенка в детском саду и дома является его полноценное и всестороннее развитие. Помимо правильной речи, он должен знать элементарные навыки гигиены, у него должна быть развита мелкая и общая моторика, он должен уметь преодолевать трудности.

Одной из методик преодоления речевых нарушений у детей является логоритмика. Она представляет собой комплекс логоритмических игр и упражнений, которые проводятся в сочетании с ритмической основой: музыкой, движением, стихотворным сопровождением (счёт). Это двигательные упражнения, которые направлены на развитие речевого дыхания, артикуляции и укрепление мышечного тонуса.

Логоритмика представляет собой особую методику, включающую в себя средства логопедического, музыкально-ритмического и физического воспитания.  

В России изучением положительного воздействия на речевую функцию ритмических движений совместно с произношением слов и правильным дыханием занимались Г.А. Волкова, Е. Железнова и Г.Р. Шашкина. С их точки зрения под логоритмикой понималась система двигательных упражнений, целью которых было устранение речевых дефектов у детей дошкольного возраста.

Фактически, логоритмика представляет собой занятия, которые сопряжены с физической нагрузкой (бег, движения под музыку). При этом необходимо проговаривать фразы, контролировать свое дыхание, петь и т.д. Во время их выполнения ребенок подражает взрослому, повторяя за ним сделанное и сказанное.

Логоритмика является частью коррекционной педагогики, в которой движения сопровождаются звуком.

К ее основным функциям относятся:

• развитие мелкой и общей моторики;
• развитие правильной координации;
• выработка правильного дыхания;
• выработка темпа речи;
• развитие речевой памяти;
• развитие слуховой функции;
• укрепление опорно-двигательного аппарата;
• развитие сенсорики;
• улучшение равновесия;
• формирование правильной осанки и походки.

Логоритмика используется в качестве вспомогательного метода при коррекционной работе с дошкольниками. Основная цель – это устранение дефектов речи, нормализация двигательной функции, дыхания, чувства ритма, темпа и интонации.

Все это достигается путем избавления от имеющихся нарушений при помощи двигательных и специально разработанных речевых упражнений. Соответственно, в таких занятиях большую роль играет музыкальная составляющая и слова.

Логоритмика для дошкольников позволяет улучшить следующие навыки:

• развивается навык речевого выдоха при говорении;
• совершенствуется мелкая и крупная моторика;
• ребенок становится более ловким;
• улучшается интонация, мимика и темп речи;
• развивается фонематический слух;
• развивается подвижность органов артикуляции, за счет чего улучшается дикция;
• формируется правильная осанка;
• развивается навык ориентации в пространстве;
• гиперактивные дети становятся более спокойными, а медлительные, напротив, более бодрыми и шустрыми;
• развиваются творческие способности;
• повышается общая выносливость организма.

Упражнения по логоритмике, при регулярном их проведении, развивают память и музыкальный слух.

Данная методика может использоваться в самых разных случаях:

• Общее недоразвитие речи у детей.
• Заикание.
• Данная методика практикуется в возрасте 2,5-4 лет, когда у детей активно формируется речь.
• Логоритмика показана детям с ослабленным иммунитетом, которые часто болеют.
• Отставание в развитии координации движений и моторики.
• Нарушения звукопроизношения. Упражнения помогают детям со слишком медленной или быстрой речью, с плохой интонацией и т.д.

Занятия по логоритмике должны подбираться с учетом возраста дошкольника. Задачей ребенка является повторение всего того, что делает взрослый.

Ходьба и маршировка

Данный тип упражнений в большинстве случаев является вводным и заключительным. Эти занятия положительно сказываются на осанке, формируют четкую координацию движений, закрепляют в детях понимание, где «лево», а где «право». У ребенка развивается слуховое внимание, потому что он учится слушать инструкции со стороны взрослого.

Используются различные варианты данных упражнений:

Ходьба друг за другом, держась за веревку. Дети располагаются друг за другом, в левой руке они держат веревку. Под звуки барабана преподаватель (а затем и ребенок) ведет детей по кругу.

Ходьба друг за другом боком приставными шагами (по канату). Руки опущены, дети передвигаются маленькими шагами, приподнимая ноги.

Ходьба с перешагиванием через 5-6 кубиков (по 2-3 круга).

Важной целью этих упражнений является расслабление и напряжение определенных групп мышц. Без этих занятий сложно добиться необходимого уровня ловкости и координации движений у ребенка.

Используются различные виды упражнений:

«Побежали». Ребенок лежит на спине, его ноги согнуты в коленях, руки вытянуты вдоль туловища. В течение 1 минуты ноги начинают активно «бежать», при этом громко стуча ступнями по полу (голова и верхняя часть туловища должны оставаться неподвижными). После окончания ребенок остается в лежачем положении, полностью расслабив свои мышцы.

«Цветочек». Ребенок садится на корточки, его голова и руки опущены. Голова и корпус поднимаются, руки в стороны – цветочек расцветает. Далее цветочек вянет – подгибаются колени, падает корпус и голова.

Проведение этих упражнений позволяет сформировать правильное дыхание, которое необходимо для свободного произношения слов. Работа над голосом позволяет улучшить его основные характеристики (высоту, силу), а также сделать его более выразительным. Упражнения на артикуляцию позволяют улучшить подвижность артикуляционных органов, а также улучшить звукопроизношение.

Используются следующие упражнения:

«Буря в стакане». Ребенку следует периодически предлагать пить сок из трубочки. Необходимо менять диаметр трубочек, начиная с более толстых, постепенно переходя на тонкие. Скажите ему, что можно не только пить таким образом сок, но и выдыхать струю воздуха из трубочки. Продемонстрируйте это сами с помощью стакана воды и предложите ему самому сделать «бурю в стакане».

«Кораблик». Для упражнения понадобится бумажный кораблик, который нужно положить на стол с гладкой поверхностью. Сначала сами дуйте на этот кораблик, чтобы он «доплыл» до другого края стола, после чего предложите ребенку повторить за вами.

«Три медведя» (упражнение для детей с 3 лет). Сначала нужно прочитать ребенку эту сказку, после чего вместе с ним попытайтесь изобразить голоса всех трех медведей: низким, обычным и высоким голосом.

Это лишь небольшая часть возможных упражнений по логоритмике, которые используются на практике. В частности, активно применяются следующие типы занятий:

• Пение. Положительно сказывается на интонации голоса, позволяет улучшить качество речи, организовать речевое дыхание в сочетании с мягким голосоизвлечением, свободной артикуляцией.
• Счетные упражнения. Помогают ребенку запомнить порядковый счет предметов.
• Пальчиковая гимнастика. Данные упражнения крайне важны, потому что они прямым образом воздействуют на определенную зону коры головного мозга, которая отвечает за речь.
• Игры на развитие памяти, внимания. Помогают развить навыки быстрого переключения между действиями.
• Игры на развитие мимики. Обязательны для проведения с детьми, у которых есть какие-либо речевые нарушения. Объясняется это тем, что для них характерна невыразительность мимики, что делает невыразительным и само произношение.
• Танцы. Положительно сказываются на осанке, улучшают пластику и чувство ритма.

При проведении логоритмических упражнений нужно в первую очередь руководствоваться теми проблемами, которые есть у конкретного ребенка, т.е. всегда важен индивидуальный подход. При этом выполнение каждого упражнения должно напоминать игру, чтобы у ребенка были только положительные эмоции от этого процесса.

Существует ряд важных правил при выполнении этих упражнений:

• С детьми, страдающими от заикания, нужно заниматься не менее четырех раз в неделю. Основной упор нужно делать на занятия по развитию речевого аппарата, нормализации его тонуса, а также улучшению темпа речи. В остальных же случаях достаточно двух раз в неделю.
• Важно быть готовыми к тому, что это достаточно длительный процесс, который может занять не менее 6 месяцев. И то только в том случае, если занятия будут регулярными.
• Необходимо использовать в занятиях те игрушки, книжки и музыку, которые нравятся ребенку.
• Важно повторять упражнения до тех пор, пока у ребенка они не будут получаться на «отлично».
• Нужно правильным образом выбирать музыку – она должна соответствовать двигательной и текстовой части упражнений (для спокойных движений нужна более тихая музыка, а для динамичных занятий, соответственно, более бодрая). 
• Всегда нужно быть на позитивном настрое. Если у ребенка что-то не получается, то не нужно демонстрировать свое недовольство этим, иначе он может замкнуться в себе.

Логоритмические упражнения прекрасно подходят и для домашних занятий, поэтому родителям следует уделать этому как можно больше свободного времени. Только совместная работа педагогов, логопедов и семьи поможет ребенку справиться с имеющимися у него речевыми и двигательными нарушениями.

6

Нравится

логопеду начинающему логопеду Родителям

Связанные статьи

• Автоматизация звука З в словах, слогах и предложениях
• Автоматизация звука Ч в словах, слогах и предложениях
• Социальная адаптация
• Как правильно разговаривать с ребенком
• Ребенок стесняется разговаривать: что делать?

И получите чемоданчик логопеда в подарок
в первом же письме! 🎁

Логоритмика: развиваем речь движением — Телеканал «О!»

Чем обычно занимаются дети в садике? Активно двигаются, поют, учатся правильно говорить. Логопедическая ритмика, или логоритмика, — это возможность заниматься всем этим сразу, развивая моторику, речь, слух и умение двигаться координированно. Чем и почему полезна логоритмика и как ею заниматься дома, рассказывает логопед Екатерина Савина.

Екатерина Савина, учитель-логопед

В середине прошлого века биологи и врачи доказали: регулярное выполнение определенных движений в заданном ритме помогает при самых разных заболеваниях и не только улучшает самочувствие, но и поднимает «боевой дух» пациентов. Так появилась сначала общая — лечебная, а потом и узкоспециализированная — логопедическая ритмика. Коктейль из движений, речи и музыки помогает детям научиться красиво и плавно говорить, а в некоторых случаях даже избавиться от заикания.

Что такое логоритмика

Логоритмика — это система упражнений, заданий, игр на основе сочетания музыки, движения, слова, метод логопедической работы по развития речи ребенка. Ее цель — решение коррекционных, образовательных и оздоровительных задач.

Популярность и эффективность логоритмики связана с тем, что занятия проходят в игровой форме по принципу подражания.

По сути это комплекс физических упражнений, который сопровождается словами и музыкой. Если регулярно включать элементы логоритмики в игровую деятельность ребенка, можно достичь заметных результатов. Так, эта терапия помогает малышу легче ориентироваться в пространстве и координировать свои движения во взаимосвязи с речью и музыкой, улучшает общую и мелкую моторику, снимает психоэмоциональное напряжение, учит правильному дыханию, совершенствует фонематический слух.

Занятия логоритмикой требуют от детей внимания, сообразительности, быстроты реакции, организованности, помогают малышам становиться более раскрепощенными, эмоциональными. И все это совершенствует умственные процессы ребенка.

Для кого она будет полезна

Логоритмика в первую очередь рекомендуется детям:

• с заиканием или наследственной предрасположенностью к нему;

• с чересчур быстрой/медленной или прерывистой речью;

• с недостаточно развитой моторикой и координацией движений;

• с дизартрией, задержками развития речи, нарушениями произношения отдельных звуков;

• часто болеющим и ослабленным;

• находящимся в периоде интенсивного формирования речи (в среднем это возраст от 2,5 до 4 лет).

Занятия по возрастам

В каждом периоде — разные потребности и возможности. Логоритмика хороша тем, что заниматься ею можно с первых дней жизни, правда, до 2 лет упражнения будут носить пассивный характер.

От 0 до 2 с половиной лет

Читайте малышу стишок или потешку, одновременно ритмично хлопая в ладоши. Затем помогите ребенку выполнить необходимые движения: поднять и опустить руки, услышав определенные слова, похлопать ручками в такт стихам или музыке. То же самое можно делать и с песнями.

От 2,5 до 4 лет

В этом возрасте дети совершенствуют двигательные навыки, учатся говорить и общаться — именно этим и нужно заниматься на уроках логоритмики. Если ребенок еще не говорит предложениями, разрешите ему повторять только последние слова фразы или просто окончания слов.

«Прогулка» (развитие общей моторики)

По узенькой дорожке (ходим на месте)

Шагают наши ножки (высоко поднимаем ноги)

Топ — топ, топ — топ (топаем на каждое слово ногами попеременно)

«Большие и маленькие капельки» (развитие чувства темпа и ритма)

Скажите ребенку, что пошел дождик. Можно включить соответствующую аудиозапись и послушать ее с закрытыми глазами 10−15 секунд. «Как стучат большие капли? Правильно, они стучат медленно — кап, кап, кап, кап… А маленькие капельки как? Конечно, быстро! Кап-кап-кап-кап-кап-кап…»

Задача ребенка — проговорить текст, хлопая ладошками по коленкам в заданных ритмах.

Пальчиковая игра «Домик» (развитие мелкой моторики)

На поляне дом стоит (пальцы обеих рук под углом друг к другу широко расставлены, соприкасаются только кончики пальцев),

Ну, а к дому путь закрыт (большие пальцы обеих рук подняты вверх, остальные пальцы — в горизонтальном положении вместе, кончики средних пальцев соприкасаются),

Мы ворота открываем,

В этот домик приглашаем (ладони поворачиваются параллельно друг другу, руки разводятся в стороны ладонями вверх).

«Ветер» (нормализация мышечного тонуса, расслабление)

Ветер дует нам в лицо

И качает деревцо (качаем поднятыми вверх руками, наклоняя корпус вправо-влево).

Ветерок все тише, тише (медленно покачиваем руками).

Деревца все выше, выше (тянемся вверх на носках, руки подняты вверх).

«Вьюга» (развитие речевого дыхания)

Вы говорите: «Как дует сильный ветер? У-у-у… Кто изобразит самый долгий ветер?» Малыш после энергичного вдоха через нос на выдохе тянет звук «У-у-у…»

От 4 до 6 лет

В этом возрасте речь ребенка перестает быть «детской» и количество «смешных» ошибок постепенно сходит на нет. Поэтому к знакомым занятиям нужно добавить логопедическую гимнастику и чистоговорки на отработку звуков.

«Черепаха» (самомассаж)

Шла купаться черепаха (ребенок выполняет легкие пощипывания пальцами рук, груди, ног)

И кусала всех со страха:

Кусь! Кусь! Кусь! Кусь!

Никого я не боюсь!

Чистоговорка на звук Ц (развитие звукопроизношения)

Цы-цы-цы — в огороде огурцы (хлопаем в ладоши).

Ица-ица-ица — прилетела к нам синица (делаем легкие взмахи кистями рук, имитируя крылья).

Рец-рец-рец — поклевала огурец (стучим указательным пальцем по коленям).

Цу-цу-цу — всем я дам по огурцу (ритмично вытягиваем руки вперед и затем прижимать к груди).

От 6 до 8 лет

В этом возрасте ребенку подвластны практически все движения, а сам он полон энергии и сил.

«Замри» (развитие быстроты реакции, творческих способностей)

Под быструю музыку ребенок бегает, изображая движения какого-нибудь животного. Как только музыка прекращается, карапуз должен замереть, приняв позу, передающую образ этого животного. Взрослый старается угадать, какого же зверя малыш изобразил.

Пение (тренировка дыхания, голоса и плавности речи)

Подходит любая (даже взрослая) песня, которая нравится ребенку.

«Разведчики» (развитие чувства темпа и ритма)

Взрослый отхлопывает несложный ритм (например, 2 медленных и 2 быстрых хлопка) и предлагает ребенку повторить этот «тайный шифр». Когда задание станет получаться без ошибок, ритм уже не отхлопывается, а играется на музыкальном инструменте. Бубен, барабан, ксилофон — подходит все, что может издавать ритмичные удары.

Более сложный уровень: взрослый отхлопывает ритм руками, а ребенок повторяет его на инструменте.

«Зеркало» (развитие умения ориентироваться в пространстве)

Подготовьте картинки со схематичными изображениями двигающихся человечков. Под быструю (или в среднем темпе) музыку ребенок совершает произвольные движения (можно бегать, кружиться, прыгать — главное, чтобы в такт музыке). Как только мелодия замолкает, малыш должен принять позу человечка, нарисованного на картинке, и замереть.

Как заниматься дома

Логопедическая ритмика — это очень просто: все задания может выполнить человек, не имеющий никакой специальной подготовки. Но важно учесть несколько ключевых моментов.

1. В основе — подражание. Упражнения строятся так: взрослый показывает — ребенок повторяет. Специально заучивать речевой материал не надо: пусть все происходит постепенно — от занятия к занятию. Сначала текст читает взрослый, побуждая малыша к повторению. Постепенно к чтению подключается и ребенок. Когда он сможет повторить все фразы в нужном ритме и без ошибок, путь проявляет инициативу.

2. Результат будет нескоро. Заниматься логоритмикой нужно всего пару раз в неделю. Заикающимся детям — в два раза чаще. Быстрого эффекта не ждите: о результатах можно будет судить минимум через полгода (а то и год).

3. Занятия должны быть веселыми. Пусть логоритмика приносит удовольствие! Во время занятий можно и нужно использовать картинки, игрушки, яркую одежду или карнавальные костюмы, если они не мешают двигаться. Словом, любые предметы, которые доставляют малышу радость!

4. Мастерство нужно оттачивать. Повторяйте упражнения до тех пор, пока они не будут выполнены на отлично. Если освоить какое-то задание не удается, откажитесь от него на некоторое время, но потом обязательно вернитесь обратно.

5. Внимательно подбирайте музыку. Для медленной части занятий подойдут вальсы (например, из «Щелкунчика»), для более подвижной — марш, а для «буйной» можно использовать классический «Полет шмеля». Запаситесь детскими песенками и записями звуков природы.

6. Ориентируйтесь на ребенка. Если у малыша что-то не получается, упростите задание или разбейте урок на несколько совсем коротких частей. Заметили, что у ребенка трудности с мелкой моторикой и звуками? Смело увеличивайте количество соответствующих упражнений. Не бойтесь экспериментировать: главное — соблюдать единство музыки, движения и речи, а в остальном простор фантазии не ограничен.

7. Тщательно выполняйте речевые упражнения. Стихотворения проговаривайте так, чтобы ребенок мог соотнести движения рук, ног, туловища с ритмом речи. Важна правильная последовательность: сначала дети выполняют действие «по показу», затем самостоятельно, в нужном ритме, одновременно проговаривая или пропевая в том же ритме слова.

8. Будьте терпеливы. Не расстраивайтесь и не сердитесь, если у малыша что-то не получается. Почувствовав ваше недовольство, он может замкнуться и отказаться от упражнения. Не бросайте начатое дело, даже если вы сомневаетесь, что ребенок когда-нибудь с ним справится.

Успешность логоритмики зависит во многом от того, нравятся ли ребенку занятия, получает ли он удовольствие от них. Прислушивайтесь к малышу, занимайтесь в удобном для него ритме, и вы обязательно увидите улучшения.

Читайте также:

Музыка как методика развития ребенка

Нейройога: развиваем мозг и тело

Тест: есть ли у вашего ребенка признаки дислексии?

Фото: Sergey Novikov/Kate Aedon/Vanessa van Rensburg/Africa Studio/Shutterstock.com

детиобразованиеразвитие речиполезные советы

Факты о логарифмах для детей

Открытая раковина наутилуса. Его камеры составляют логарифмическую спираль

Логарифмы или бревна являются частью математики. Они связаны с экспоненциальными функциями. Логарифм говорит, какой показатель степени (или степени) необходим для получения определенного числа, поэтому логарифмы являются обратными (противоположными) действиям возведения в степень. Исторически сложилось так, что они были полезны при умножении или делении больших чисел.

Примером логарифма является . В этом логарифме основание равно 2, аргумент равен 8, а ответ равен 3. В этом случае функция возведения в степень будет:

Наиболее распространенными типами логарифмов являются десятичных логарифмов , где основание равно 10, двоичных логарифмов , где основание равно 2, и натуральных логарифмов , где основание равно e ≈ 2,71828.

Содержание

• История
• Связь с экспоненциальными функциями
• Отличие от корней
• Использует
• десятичные логарифмы
• Натуральные логарифмы
• Общие основания для логарифмов
• Свойства логарифмов
  • Свойства из определения логарифма
  • Операции с логарифмическими аргументами
  • Таблицы логарифмов, логарифмические линейки и исторические приложения
• Связанные страницы
• Картинки для детей

История

Логарифмы впервые были использованы в Индии во 2 веке до н. э. Первым, кто использовал логарифмы в наше время, был немецкий математик Михаэль Штифель (около 1487–1567). В 1544 году он записал следующие уравнения: и . Это основа для понимания логарифмов. Для Штифеля и должны были быть целые числа. Джон Напье (1550–1617) не хотел этого ограничения и хотел установить диапазон показателей.

Джон Нейпир работал над логарифмами

Согласно Нейпиру, логарифмы выражают соотношения: имеет такое же отношение к , как если бы разность их логарифмов совпадала. Математически: . Сначала использовалась база e (хотя число еще не было названо). Генри Бриггс предложил использовать 10 в качестве основания для логарифмов, такие логарифмы очень полезны в астрономии.

Связь с экспоненциальными функциями

Логарифм показывает, какой показатель степени (или степени) необходим для получения определенного числа, поэтому логарифмы являются обратными (обратными) действиями возведения в степень.

Точно так же, как экспоненциальная функция состоит из трех частей, логарифм также состоит из трех частей: основания, аргумента и ответа (также называемого степенью).

Ниже приведен пример экспоненциальной функции:

В этой функции основание равно 2, аргумент равен 3, а ответ равен 8.

Это показательное уравнение имеет обратное, его логарифмическое уравнение:

В этом уравнении основание равно 2, аргумент равен 8, а ответ равен 3.

Отличие от корней

Сложение имеет одну обратную операцию: вычитание. Кроме того, у умножения есть одна обратная операция: деление. Однако возведение в степень на самом деле имеет две обратные операции: корень и логарифм. Причина, по которой это так, связана с тем фактом, что возведение в степень не является коммутативным.

Следующий пример иллюстрирует это:

• Если x +2=3, то можно использовать вычитание, чтобы узнать, что х =3−2. То же самое, если 2+ x = 3: также получается x = 3−2. Это потому, что x +2 равно 2+ x .
• Если х · 2=3, то можно с помощью деления узнать, что х =. То же самое, если 2 · x = 3: тоже получается x =. Это потому, что x · 2 равно 2 · x .
• Если x ²=3, то можно использовать (квадратный) корень, чтобы узнать, что х = . Однако, если 2 ^х =3, то один не может использовать корень, чтобы узнать х . Скорее, нужно использовать (двоичный) логарифм, чтобы узнать, что x = log ₂ (3).
  Это связано с тем, что 2 ^x обычно не совпадает с x ² (например, 2 ⁵ = 32, а 5² = 25).

Использование

Логарифмы могут упростить умножение и деление больших чисел, потому что сложение логарифмов аналогично умножению, а вычитание логарифмов аналогично делению.

До того, как калькуляторы стали популярными и распространенными, люди использовали таблицы логарифмов в книгах для умножения и деления. Та же информация в таблице логарифмов была доступна на логарифмической линейке, инструменте с написанными на нем логарифмами.

Помимо вычислений, логарифм имеет множество других применений в реальной жизни:

• Логарифмические спирали широко распространены в природе. Примеры включают раковину наутилуса или расположение семян на подсолнухе.
• В химии отрицательный логарифм по основанию 10 активности ионов гидроксония (H ₃ O ⁺ , форма H ⁺ принимает в воде) является мерой, известной как рН. Активность ионов гидроксония в нейтральной воде составляет 10 ^-7 моль/л при 25 °C, следовательно, pH равен 7. (Это результат константы равновесия, произведения концентрации ионов гидроксония и ионов гидроксила, в водных растворах 10 ⁻¹⁴ M ² .)
• Шкала Рихтера измеряет интенсивность землетрясений по логарифмической шкале с основанием 10.
• В астрономии видимая величина измеряет яркость звезд логарифмически, поскольку глаз также логарифмически реагирует на яркость.
• Музыкальные интервалы измеряются логарифмически как полутона. Интервал между двумя нотами в полутонах равен логарифму отношения частот по основанию 2 ^1/12 (или, что то же самое, 12-кратному логарифму по основанию 2). Дробные полутона используются для неравных темпераций. Специально для измерения отклонений от равнотемперированной шкалы интервалы также выражаются в центах (сотых долях равнотемперированного полутона). Интервал между двумя банкнотами в центах равен основанию 2 ^1/1200 логарифм отношения частот (или 1200-кратный логарифм по основанию 2). В MIDI ноты пронумерованы по шкале полутонов (логарифмическая абсолютная номинальная высота звука со средней до 60). Для микронастройки на другие системы строя определена логарифмическая шкала, заполняющая диапазоны между полутонами равнотемперированной шкалы совместимым образом. Эта шкала соответствует номерам нот для целых полутонов. (см. микронастройку в MIDI).

Двоичные логарифмы

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами. Обычно они пишутся без основы. Например:

Это верно, потому что:

Натуральные логарифмы

Логарифмы по основанию e называются натуральными логарифмами. Число e близко к 2,71828, и его также называют константой Эйлера в честь математика Леонарда Эйлера.

Натуральные логарифмы могут принимать символы или . Некоторые авторы предпочитают использовать натуральные логарифмы в виде , но обычно упоминают об этом на страницах предисловия.

Общие основания для логарифмов

база	аббревиатура	Комментарии
2		Очень распространен в информатике (двоичный)
и	или просто	Основанием для этого является постоянная Эйлера e. Это наиболее распространенный логарифм, используемый в чистой математике.
10	или (иногда также пишется как)	Используется в некоторых науках, таких как химия и биология.
любой номер, номер		Это общий способ записи логарифмов

Свойства логарифмов

Логарифмы обладают многими свойствами. Например:

Свойства из определения логарифма

Это свойство прямо из определения логарифма:

Например,

и

, потому что .

Логарифм по основанию b числа a , это то же самое, что логарифм a , разделенный на логарифм b . То есть

Например, пусть a равно 6, а b равно 2. С помощью калькуляторов мы можем показать, что это правда (или, по крайней мере, очень близко):

В приведенных выше результатах была небольшая ошибка, но это произошло из-за округления чисел.

Поскольку представить натуральный логарифм сложно, мы находим, что в терминах десятичного логарифма:

, где 0,434294 является приближением логарифма e .

Операции с логарифмическими аргументами

Логарифмы, которые умножаются внутри своего аргумента, могут быть изменены следующим образом:

Например,

Точно так же логарифм, который делится внутри аргумента, может быть превращен в разность логарифмов (потому что это обратная операция умножения):

Таблицы логарифмов, логарифмические линейки и исторические приложения

До появления электронных компьютеров ученые ежедневно использовали логарифмы. Логарифмы помогли ученым и инженерам во многих областях, таких как астрономия.

До появления компьютеров таблица логарифмов была важным инструментом. В 1617 году Генри Бриггс напечатал первую таблицу логарифмов. Это было вскоре после основного изобретения Нейпира. Позже люди стали делать таблицы с лучшим охватом и точностью. В этих таблицах перечислены значения журнала _b ( x ) и b ^x для любого числа x в определенном диапазоне, с определенной точностью, для определенного основания b (обычно 809090) . Например, первая таблица Бриггса содержала десятичные логарифмы всех целых чисел в диапазоне от 1 до 1000 с точностью до 8 цифр.

Поскольку функция f ( x ) = b ^x является обратной функцией журнала _b ( х ), это называется антилогарифмом. Люди использовали эти таблицы для умножения и деления чисел. Например, пользователь искал в таблице логарифм для каждого из двух положительных чисел. Сложение чисел из таблицы даст логарифм произведения. Затем функция антилогарифма таблицы найдет произведение на основе его логарифма.

Для ручных вычислений, требующих точности, поиск двух логарифмов, вычисление их суммы или разности и поиск антилогарифма выполняется намного быстрее, чем выполнение умножения более ранними способами.

Многие таблицы логарифмов дают логарифмы, отдельно предоставляя характеристику и мантисса x , то есть целую часть и дробную часть log ₁₀ ( x ). Характеристика 10 · x равна единице плюс характеристика x , и их мантиссы одинаковы. Это расширяет возможности таблиц логарифмов: для таблицы со списком log ₁₀ ( x ) для всех целых чисел x в диапазоне от 1 до 1000, логарифм 3542 аппроксимируется как

Другим важным применением была логарифмическая линейка, пара логарифмически разделенных шкал, используемых для вычислений, как показано здесь:

Схематическое изображение логарифмической линейки. Начиная с 2 на нижней шкале, добавьте расстояние к 3 на верхней шкале, чтобы получить произведение 6. Логарифмическая линейка работает, потому что она отмечена таким образом, что расстояние от 1 до x пропорционально логарифму х .

Числа отмечаются на скользящих шкалах на расстояниях, пропорциональных разности их логарифмов. Сдвиг верхней шкалы соответствует механическому сложению логарифмов. Например, добавление расстояния от 1 до 2 по нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 по верхней шкале дает произведение 6, которое считывается в нижней части. Многие инженеры и ученые использовали логарифмические линейки до 1970-х годов. Ученые могут работать быстрее, используя логарифмическую линейку, чем используя таблицу логарифмов.

Связанные страницы

• Постоянная Эйлера–Маскерони
• Теорема о простых числах

Картинки для детей

• Графики логарифмических функций с тремя широко используемыми основаниями. Особые точки log b   b = 1 обозначены пунктирными линиями, а все кривые пересекаются в log b  1 = 0,

  .

• График основания логарифма 2 пересекает ось x в точке x = 1 и проходит через точки (2, 1), (4, 2) и (8, 3), изображая, например, log2 (8) = 3 и 23 = 8. График сколь угодно близко подходит к оси у, но не пересекает ее.

• Британская энциклопедия 1797 года объяснение логарифмов

• Клавиши логарифмирования (LOG для основания 10 и LN для основания e) на графическом калькуляторе TI-83 Plus

• Ряд Тейлора для ln( z ) с центром в z = 1. Анимация показывает первые 10 приближений, а также 99-е и 100-е. Аппроксимации не сходятся дальше расстояния 1 от центра.

Все содержимое статей энциклопедии Kiddle (включая изображения статей и факты) можно свободно использовать по лицензии Attribution-ShareAlike, если не указано иное. Процитируйте эту статью:

Факты о логарифмах для детей. Энциклопедия Киддла.

Натуральный логарифм — Academic Kids

From Academic Kids

Натуральный логарифм является логарифмом по основанию e , где e приблизительно равно 2,71828… (точная дробь не может быть указана как e — иррациональное число, как и пи). Натуральный логарифм определен для всех положительных действительных чисел x , а также может быть определен для ненулевых комплексных чисел, как будет объяснено ниже. Хотя эта функция не была введена Нейпиром, ее иногда называют логарифмом Непера .

ln(x)
Натуральный логарифм стремится к минус бесконечности, когда x стремится к 0.

Условные обозначения

Математики обычно понимают либо » ln( x ) » или «log( x )» для обозначения log _e ( x ), т.е. натуральный логарифм x , и напишите «log ₁₀ x 0″ если имеется в виду десятичный логарифм x . Инженеры, биологи и некоторые другие пишут только «ln( x )» или (иногда) «log _e ( x )», когда они имеют в виду естественное логарифм x , и возьмите «log( x )» как log ₁₀ ( x ) или, в контексте вычислений, log ₂ ( x ). Иногда Log( x ) (заглавная L ) используется для обозначения log ₁₀ ( x ) теми людьми, которые используют log( x ) со строчными буквами l для обозначения log _{0 е} ( х ).

Большая часть причин думать о десятичных логарифмах устарела вскоре после 1970 года, когда широкое распространение получили портативные калькуляторы (подробнее об этом см. десятичный логарифм). Тем не менее, поскольку калькуляторы производятся и часто используются инженерами, соглашения, к которым привыкли инженеры, продолжали использоваться в калькуляторах, поэтому теперь большинство нематематиков принимают «log( x )» для обозначения десятичного логарифма x и используйте только «ln( x )» для обозначения натурального логарифма x . Совсем недавно, в 1984 году, Пол Халмос в своей автобиографии осыпал презрением на том, что он считал детским обозначением «ln», которое, по его словам, никогда не использовал ни один математик (на самом деле это обозначение было изобретено в 1893 году Ирвингом Стрингемом, профессором математики в Беркли). ln», но в большинстве случаев используется «log». В теоретической информатике логарифм по основанию 2 записывается как lg( x ), чтобы избежать путаницы. Это использование было предложено Эдвардом Рейнгольдом и популяризировано Дональдом Кнутом.

Чтобы избежать путаницы, Википедия использует обозначение ln( x ) для натурального логарифма x и log ₁₀ ( x ) для десятичного логарифма x .

Ln — обратная натуральная экспоненциальная функция

Эта функция — обратная экспоненциальная функция,
таким образом, он держит

9х) = х \,\! $\; для\; всех\; реальных$ x .

Другими словами, логарифмическая функция — это биекция множества положительных действительных чисел на множество всех действительных чисел. Точнее, это изоморфизм группы положительных действительных чисел при умножении на группу действительных чисел при сложении.

Логарифмы могут быть определены с любым положительным основанием, кроме 1, а не только с e , и они всегда полезны для решения уравнений, в которых неизвестное выступает как показатель степени какой-либо другой величины.

Что в них такого «естественного»?

Первоначально кажется, что в мире, использующем базу 10 почти для всех расчетов, эта база будет более «естественной», чем база e . Причина, по которой мы называем ln( x ) «естественным», двояка: во-первых, натуральный логарифм можно довольно легко определить с помощью простого интеграла или ряда Тейлора, как будет объяснено ниже; это неверно для других логарифмов. Во-вторых, выражения, в которых неизвестная переменная стоит как показатель степени и встречаются гораздо чаще, чем показатели степени 10 (из-за «естественных» свойств экспоненциальной функции, которые позволяют ей описывать рост и затухание), поэтому натуральный логарифм более полезен на практике.
Конкретнее, рассмотрим задачу дифференцирования логарифмической функции:

$\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash log\_b(x)\; =\backslash frac\{1\}\{x\; \backslash cdot\; \backslash ln\; b\}$ $$

Когда x равно 1, а основание (b) равно e , то наклон графика будет равен 1. {i \phi}$мы\; устанавливаем$
9{2\pi i} = 1$(см.\; тождество\; Эйлера).$

Предпочтительный способ работы с такими многозначными функциями в комплексном анализе — через римановы поверхности: тогда функция ln определяется не на комплексной плоскости, а вместо этого на подходящей римановой поверхности, имеющей счетное число «листьев» и значений функции отличаются на 2π i от листа к листу.

Числовое значение

Чтобы вычислить числовое значение натурального логарифма числа, разложение в ряд Тейлора можно переписать как:
9{2} \, ( \frac{1}{9} + \ldots ) ) ) ) ) $$

при условии, что $y=\backslash frac\{x-1\}\{x+1\}$ и$ 1$$$

Натуральный логарифм интегрирования

Натуральный логарифм позволяет просто интегрировать функции вида г ( x ) определяется выражением ln(| f ( x )|). Это происходит из-за цепного правила и следующего факта:

$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash left(\; \backslash ln\; \backslash left|\; x\; \backslash right|\; \backslash right)\; =\; \{1\; \backslash over\; x\}$ $$

Вот пример для г ( x ) = tan( x ):

$\backslash int\; \backslash tan\; (x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash int\; \{\backslash sin\; (x)\; \backslash over\; \backslash cos\; (x)\}\; \backslash ,dx$ $$

$\backslash int\; \backslash tan\; (x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash int\; \{-\{d\; \backslash over\; dx\}\; \backslash cos\; (x)\; \backslash over\; \{\backslash cos\; (x)\}\}\; \backslash ,dx$ $$

Сдача f ( x ) = cos( x ) и f'( x )= — sin( x ):

$\backslash int\; \backslash tan\; (x)\; \backslash ,dx\; =\; -\backslash ln\{\backslash left|\; \backslash cos\; (x)\; \backslash right|\}\; +\; C$ $$

$\backslash int\; \backslash tan\; (x)\; \backslash ,dx\; =\; \backslash ln\{\backslash left|\; \backslash sec\; (x)\; \backslash right|\}\; +\; C$ $$

где C — произвольная постоянная интегрирования.