Математика интернета / Статьи — Математическая составляющая

Андрей Михайлович Райгородский

Приложения: интернет

Математика: дискретная математика, теория графов

Стран­ное назва­ние, скажет чита­тель, про­во­дящий часть жизни в интер­нете. Ведь воз­ник­но­ве­ние сайтов, их напол­не­ние кон­тен­том, уста­нов­ле­ние свя­зей между ними (ссылки) — всё это про­ис­хо­дит сти­хийно, никем явным обра­зом не управ­ля­ется. Но, как и другие слож­ные системы, состо­ящие из большого числа «сво­бод­ных» элемен­тов, интер­нет ста­но­вится сре­дой, в целом имеющей устой­чи­вые свойства, не зави­сящие от бес­по­рядка в мело­чах и под­дающи­еся иссле­до­ва­нию матема­ти­че­скими мето­дами.

Будем пред­став­лять интер­нет в виде графа. Граф — это множе­ство точек (вершин графа), соеди­нён­ных конеч­ным чис­лом дуг (рёбер графа). Верши­нами будем счи­тать интер­нет-сайты, а рёб­рами — гиперс­сылки, идущие с одних сайтов на другие. Рёбра этого графа — ори­ен­ти­ро­ван­ные (в ссыл­ках важно, кто на кого ссы­ла­ется), неко­то­рые из них — крат­ные (несколько ссы­лок с одного сайта на дру­гой), есть и петли (ссылки между стра­ни­цами одного и того же сайта).

Постро­ен­ный веб-граф — насто­ящий монстр с мил­ли­ар­дами вершин и рёбер. Этот граф посто­янно меня­ется: добав­ляются и исче­зают сайты, про­па­дают и появ­ляются ссылки. Но при всех изме­не­ниях, неко­то­рые свойства интер­нета остаются неизмен­ными на про­тяже­нии всей исто­рии его иссле­до­ва­ния. Вот несколько при­ме­ров таких «устой­чи­вых» свойств.

Веб-граф раз­режен. В нём лишь в несколько раз больше рёбер, чем вершин. Каза­лось бы, стран­ное дело — возможны любые ссылки, а рёбер всё равно мало.

Несмотря на раз­режен­ность, интер­нет-мир очень тесен. А именно, от любого сайта до любого другого можно по ссыл­кам перейти за 5—6 «кли­ков» (знаме­ни­тый закон «шести рукопожа­тий»).

В веб-графе высока веро­ят­ность того, что «соседи» дан­ной вершины (сайты, свя­зан­ные ссыл­ками с дан­ным) сами свя­заны реб­ром: «мои зна­комые зна­комы между собой».

Важ­ная харак­те­ри­стика вершины графа — её степень, т. е. число вхо­дящих и выхо­дящих рёбер. Ока­зы­ва­ется, что степени вершин «пра­вильно», т. {γ}$, где $γ ≈ 2,3$. В этой формуле есть понят­ное «ядро» — доля вершин большой степени $d$ (сайтов с большим коли­че­ством ссы­лок) мала. Но есть и уди­ви­тель­ная деталь — посто­ян­ная $γ$ не зави­сит от числа вершин веб-графа, т. е. не меня­ется в процессе раз­ви­тия интер­нета. Этот степен­ной закон явля­ется уни­вер­саль­ным для слож­ных сетей — от био­логи­че­ских до меж­бан­ков­ских, разве что для раз­ных сетей вели­чина $γ$ немного раз­ная.

Интер­нет как целое устой­чив к слу­чай­ным ата­кам на сайты. А именно, если уни­чтоже­ние сайтов про­ис­хо­дит неза­ви­симо и с оди­на­ко­вой веро­ят­но­стью, то веб-граф с веро­ят­но­стью, близ­кой к 1, сохра­няет «гигант­скую» связ­ную компо­ненту. Эта компо­нента сохра­ня­ется даже при при­цель­ной атаке на хабы — вершины наи­больших степе­ней — пока доля ата­ко­ван­ных хабов не пре­вы­сит неко­то­рое кри­ти­че­ское зна­че­ние.

Для изу­че­ния интер­нета необ­хо­димо уметь стро­ить модель «слу­чай­ного графа», кото­рая с высо­кой веро­ят­но­стью обла­дает ожи­да­емыми свойствами реаль­ного интер­нета. При этом для прак­ти­че­ских нужд, да и для чисто матема­ти­че­ских целей, крайне важно, чтобы модель не была слиш­ком слож­ной. Эта труд­ная и при­вле­ка­тель­ная задача пол­но­стью не решена.

Постро­е­ние хорошей матема­ти­че­ской модели интер­нета сразу же даёт каче­ственно новые инструменты для улучше­ния информаци­он­ного поиска, выяв­ле­ния спама, прогно­зи­ро­ва­ния рас­про­стра­не­ния информации в соци­аль­ных сетях и в интер­нете в целом.

С дру­гой сто­роны, матема­ти­че­ские модели интер­нета ока­зы­ваются весьма похожими на модели био­логи­че­ских сообществ или модели меж­бан­ков­ского вза­и­мо­действия. И хотя изу­че­ние био­логи­че­ских или финан­со­вых сообществ нача­лось зна­чи­тельно раньше, чем появился интер­нет, интен­сив­ность раз­ви­тия послед­него и достиже­ния в его изу­че­нии делают вза­им­ное вли­я­ние всех этих моде­лей благо­твор­ным.

Поэтому матема­тика интер­нета вос­тре­бо­вана и био­логами (пред­ска­за­ние эпи­демий), и созда­те­лями лекарств (бак­те­ри­аль­ные сообще­ства, живущие в орга­низме чело­века, тоже похожи на интер­нет), и финан­си­стами (риски воз­ник­но­ве­ния кри­зи­сов).

Изу­че­ние подоб­ных систем — один из цен­траль­ных раз­де­лов при­клад­ной матема­тики и неис­ся­ка­емый источ­ник новых задач для всей матема­тики.

Лите­ра­тура

Райго­род­ский А. М. Матема­ти­че­ские модели интер­нета // Жур­нал «Квант». 2012. № 4. Стр. 12—16.

Райго­род­ский А., Лит­вак Н. Кому нужна матема­тика?: Понят­ная книга о том, как устроен циф­ро­вой мир. — М.: МИФ, 2017.

Оре О. Графы и их при­ме­не­ние. — М.: Мир, 1965.

Интернет-карусели | Интернет-Карусель

Интернет-карусель — международное on-line соревнование. Регулярно проходят соревнования по математике, русскому языку, английскому языку и другим предметам (физика, история, информатика, немецкий язык), а также интеллектуальные викторины для детей с ограниченными возможностями и для семейных команд. В каждом соревновании участвуют от 400 до 1000 команд из разных регионов РФ, а также из других стран (Беларусь, Украина, Казахстан, Словакия и другие).

Участие в Интернет-каруселях бесплатное.

• ИГРЫ СЕЗОНА 2022-2023 УЧ.ГОДА
• КАРУСЕЛЬ-КРУЖОК ПО МАТЕМАТИКЕ: 5-6 кл, 7 кл, 8 кл и 9 кл
• ИНТЕРНЕТ-КАРУСЕЛЬ УЧИТЕЛЯМ
• Правила Интернет-каруселей
• Задания прошедших каруселей

Приглашаем всех к участию!

Сезон 2022-2023 учебного года

• Проект «Интернет-карусель» проводит «Математический карусель-кружок» для 5-6, 7, 8 и 9 классов при поддержке лицея «Вторая школа» (Москва), гимназии им. Е. М. Примакова (Московская область) и образовательного центра «Взлёт» (Московская область) и при участии «Центра педагогического мастерства» и проекта «Математическая вертикаль».
• Проект открыт для сотрудничества. Предложения просим отправлять на адреса karusel@desc. ru и [email protected]. 

Актуальные новости

• [23.08.2022] Соревнования в рамках карусель-кружка в 2022-2023 уч. году пройдут в следующие дни недели: 5-6 кл — вторник, 7 кл — четверг, 8 кл. — вторник, 9 кл — четверг.
• [24.12.2021] Опубликованы итоги всех соревнований карусель-кружка, задания, ответы и решения.
• [22.11.2021] В этом году Интернет-карусели отказались от практики рассылки писем с новостями проекта. Приглашаем присоединиться к телеграм-каналу «Интернет-карусель». Просим поделиться ссылкой на канал со всеми заинтересованными.
• ЛМШ «Kostroma Open» — летняя математическая школа, в которой собираются ребята, желающие научиться решать математические задачки. Летняя школа — это новые друзья и интересные занятия и активный отдых.
  Регистрация и набор в ЛМШ проходит с февраля по май.
  Турнир «Kostroma Open» — серия математических соревнований. Каждый учебный год проходят: (1) математические игры команд 5 классов, (2) математические бои 6-7 классов, (3) математические бои 8-9 классов. 
  Подробнее о проектах «Kostroma Open» читайте здесь: kostroma-open.info. 

Прошедшие игры

14.03.2023 15:30 Математика, 8 кл. (6) [14.03.2023]

02.03.2023 15:30 Математика, 7 кл. (5) [02.03.2023]

14.02.2023 15:30 Математика, 5-6 кл. (5) [14.02.2023]

07.02.2023 15:30 Математика, 8 кл. (5) [07.02.2023]

02.02.2023 15:30 Математика, 9 кл. (2) [02.02.2023]

Все прошедшие

Интернет-математика

• Просматривать

  • Титулы

  • Издатели

  • Предметы

• Ресурсы

  • Подписка и доступ

  • Библиотечные ресурсы

  • Инструменты издателя

  • Ресурсы для исследователей

• О

  • О проекте Евклид

  • Консультативный совет

  • Новости и события

  • Способы поддержки проекта Евклид

  • Политики

  • Издательские услуги

Расширенный поиск

Самые читаемые статьи

Случайный Альфа PageRank

Пол Г. Константин и др. (2009)

Общие настройки для параметрической Google Matrix

Роджер А. Хорн и др. (2006)

Модели онлайн-социальных сетей

Энтони Бонато и др. (2009)

Ранжирование веб-сайтов: вероятностный взгляд

Ин Бао и др. (2006)

Аппроксимации обобщенной обратной матрицы лапласиана графа

Энрико Боццо и др. (2012)

Подписаться на Project Euclid

Получать оповещения по электронной почте

Преобразование кабинета математики с помощью Интернета

. 2020;52(5):825-841.

doi: 10.1007/s11858-020-01176-4.

Epub 2020 26 июня.

Иоганн Энгельбрехт
¹
, Сальвадор Ллинарес
²
, Марсело С Борба
³

Принадлежности

• ¹ Университет Претории, Претория, Южная Африка.
• ² Университет Аликанте, Аликанте, Испания.
• ³ UNESP, Рио-Кларо, Бразилия.

• PMID:

  32837579

• PMCID:

  PMC7317248

• DOI:

  10.1007/s11858-020-01176-4

Бесплатная статья ЧВК

Иоганн Энгельбрехт и соавт.

ЗДМ.

2020.

Бесплатная статья ЧВК

. 2020;52(5):825-841.

doi: 10.1007/s11858-020-01176-4.

Epub 2020 26 июня.

Авторы

Иоганн Энгельбрехт
¹
, Сальвадор Ллинарес
²
, Марсело С Борба
³

Принадлежности

• ¹ Университет Претории, Претория, Южная Африка.
• ² Университет Аликанте, Аликанте, Испания.
• ³ UNESP, Рио-Кларо, Бразилия.

• PMID:

  32837579

• PMCID:

  PMC7317248

• DOI:

  10. 1007/s11858-020-01176-4

Абстрактный

В последние годы заметно возросло использование Интернета в образовательных целях. В этом обзорном документе мы описываем, как Интернет меняет классы математики и подготовку учителей математики. Мы используем в качестве ссылок несколько обзоров использования Интернета в учебных заведениях по математике, сделанных в последние годы, чтобы определить, как развивалась эта область. Мы выделяем три области, в которых педагоги-математики генерируют новые подходы: принципы проектирования новых условий; социальное взаимодействие и строительные знания; и инструменты и ресурсы. Статьи в этом выпуске отражают различные точки зрения, разработанные за последнее десятилетие в этих трех областях, предоставляя доказательства достижений в теоретических основах и поддержку в создании новых значений для старых конструкций, таких как «инструмент», «ресурсы» или «учебная среда». ‘. Во-первых, мы выделяем различные способы, которыми использование цифровых технологий порождает новые взгляды на математику и условия, в которых она изучается, а также то, как преподаватели математики формируют новые инициативы начальной подготовки и профессионального развития. В этом обзорном документе мы определяем тенденции будущих исследований в отношении теоретических и методологических аспектов и признаем новые возможности, требующие дальнейшего участия.

Ключевые слова:

Смешанное обучение; Сотрудничество; Люди-с-медиа; гипер-персонализация; Учебная среда; система управления обучением; МООК; образование учителя математики; Преподавание математики.

© СИЗ Карлсруэ 2020.

Похожие статьи

• Эффективность электронного обучения в Интернете в отношении поведения врачей и результатов лечения пациентов: протокол систематического обзора.

  Синклер П., Кейбл А., Леветт-Джонс Т.

  Синклер П. и др.
  JBI Database System Rev Implement Rev. 2015 Jan; 13(1):52-64. doi: 10.11124/jbisrir-2015-1919.
  Версия системы базы данных JBI, отчет о реализации, 2015 г.

  PMID: 26447007

• Опыт студентов и преподавателей в обучении, основанном на моделировании матери и ребенка: систематический обзор протокола качественных доказательств.

  Маккиннон К., Марселлус Л., Риверс Дж., Гордон С., Райан М., Батчер Д.

  Маккиннон К. и др.
  JBI Database System Rev Implement Rep. 2015 Jan; 13(1):14-26. doi: 10.11124/jbisrir-2015-1694.
  Версия системы базы данных JBI, отчет о реализации, 2015 г.

  PMID: 26447004

• Изучение концептуальных и теоретических основ обучения практикующих медсестер: протокол обзора обзора.

  Уилсон Р., Годфри К.М., Сирс К., Медвес Дж., Росс-Уайт А., Ламберт Н.

  Уилсон Р. и соавт.
  JBI Database System Rev Implement Rep. 2015 Oct;13(10):146-55. doi: 10.11124/jbisrir-2015-2150.
  Версия системы базы данных JBI, отчет о реализации, 2015 г.

  PMID: 26571290

  Обзор.

• Сбор видео-кейсов, чтобы помочь фасилитаторам PD заметить продуктивное обучение учителей.

  Шулер С., Рёскен-Винтер Б.

  Шулер С. и др.
  Int J STEM Educ. 2018;5(1):50. дои: 10.1186/s40594-018-0147-й. Epub 2018 28 ноября.
  Int J STEM Educ. 2018.

  PMID: 30631739
  Бесплатная статья ЧВК.

• Суицидальная идея.

  Хармер Б., Ли С., Дуонг ТВХ, Саадабади А.

  Хармер Б. и др.
  2023 г., 7 февраля. В: StatPearls [Интернет]. Остров сокровищ (Флорида): StatPearls Publishing; 2023 янв.–.
  2023 г., 7 февраля. В: StatPearls [Интернет]. Остров сокровищ (Флорида): StatPearls Publishing; 2023 янв.–.

  PMID: 33351435
  Бесплатные книги и документы.

Посмотреть все похожие статьи

Цитируется

• Будем ли мы когда-нибудь снова преподавать математику так, как мы это делали до пандемии?

  Энгельбрехт Дж., Борба М.С., Кайзер Г.

  Энгельбрехт Дж. и соавт.
  ЗДМ. 2023;55(1):1-16. doi: 10.1007/s11858-022-01460-5. Epub 2023 13 января.
  ЗДМ. 2023.

  PMID: 36684476
  Бесплатная статья ЧВК.

• Примерный процесс в онлайн-образовании: лонгитюдное исследование учителей математики.

  Севимли Э.

  Севимли Э.
  Узнайте об окружающей среде Res. 2022 ноя 28:1-24. doi: 10.1007/s10984-022-09440-y. Онлайн перед печатью.
  Узнайте об окружающей среде Res. 2022.

  PMID: 36467116
  Бесплатная статья ЧВК.

• Влияние COVID-19о формате и характере научных конференций по математическому образованию.

  Engelbrecht J, Kwon ON, Borba MC, Yoon H, Bae Y, Lee K.

  Энгельбрехт Дж. и соавт.
  ЗДМ. 2023;55(1):95-108. doi: 10.1007/s11858-022-01421-y. Epub 2022 20 сентября.
  ЗДМ. 2023.

  PMID: 36160181
  Бесплатная статья ЧВК.

• Роли технологий для будущего обучения в условиях пандемии: активность, деятельность и люди-со-медиа.

  Вилла-Очоа JA, Молина-Торо JF, Borba MC.

  Вилла-Очоа Дж. А. и др.
  ЗДМ. 2023;55(1):207-220. doi: 10.1007/s11858-022-01429-4. Epub 2022 6 сентября.
  ЗДМ. 2023.

  PMID: 36092535
  Бесплатная статья ЧВК.

• Использование разыгрывания для перехода от педагогики до Covid к педагогике после Covid: тематическое исследование с учителями математики из Южной Африки.

  Каллаган Р., Жубер Дж., Энгельбрехт Дж.

  Каллаган Р. и соавт.
  ЗДМ. 2023;55(1):193-206. doi: 10.1007/s11858-022-01416-9. Epub 2022 16 августа.
  ЗДМ. 2023.

  PMID: 35991690
  Бесплатная статья ЧВК.

Просмотреть все статьи «Цитируется по»

Рекомендации

1. 1. Ан Р., класс M. Педагогика, ориентированная на учащихся: совместное построение знаний посредством промежуточных экзаменов, подготовленных учащимися. Международный журнал преподавания и обучения в высшем образовании. 2011;23(2):269–281.

2. 1. Алмейда HRFL. Das Tecnologias às Tecnologias Digitais e seu uso na Educação Matemática [От технологий к цифровым технологиям и их использованию в математическом образовании] Nuances: Estudos Sobre Educação. 2015;26(2):222–239.

3. 1. Аркави А. От инструментов к ресурсам в профессиональном развитии учителей математики. В: Llinares S, Chapman O, редакторы. Международный справочник по подготовке учителей математики. Том 2: Инструменты и процессы в обучении учителей математики. 2. Лейден: Брилл; 2020. С. 421–440.

4. 1. Аттвелл, Г. (2007). Персональные учебные среды — будущее электронного обучения? Документы по электронному обучению, 2(1).